Bitte um Hilfe bei Matheaufgabe

Es geht um die Parabelschar. Hier die Aufgabenstellung: Gegeben ist die Schar quadratischer Funktionen pa (x) = 3(x² - 2ax + 2a²); Ihre Graphen sind die Parabeln Gpa. Berechnen Sie den Scheitel in Abhängigkeit von a und zeigen Sie, dass es für alle Funktionen der Schar keine Nullstelle gibt.

Ich komme mit der Aufgabe irgendwie nicht so ganz klar und weiß auch garnicht, wie ich überhaupt anfangen soll. Bin über jede Hilfe sehr dankbar!

Als erstes bringen wir die Parabel in die Scheitelform, es kommt folgendes raus: 3(x-a)²+a² . Das bedeutet der Scheitel ist um a nach rechts verschoben und um a² nach oben. Somit hast du keine Nulstellen.

Falls es dich interessiert, die Parabel ist enger als eine Normlparabel, da sie einen Öffnungsfaktor von 3 hat, aber das ist für deine Aufgabe Irrelevant, hoffe konnte dir weiterhelfen.

Aus dem Tafelwerk kannst du die nötigen Gleichungen entnehmen, aber es schadet auch nicht, diese im Kopf zu haben.

Ausmultiplizieren:
pa(x) = 3(x² - 2ax + 2a²) = 3x² - 6ax + 6a²

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:
f(x) = bx² + cx + d
Daraus ergibt sich:
b = 3
c = -6a
d = 6a²

Die Formel für den Scheitelpunkt lautet:
S( -c / (2b) | d - ( c² / (4b) )

Damit ergeben sich die Scheitelpunkte:
Sa( -(-6a) / (2·3) | 6a² - ( (-6a)² / (4·3 ) ) )
Sa( a | 6a² - ( 36a² / 12 ) )
Sa( a | 3a² )

Die Frage nach den Nullstellen lässt sich somit auch beantworten, da der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse liegt (3a² ist immer positiv) und die Parabel nach oben geöffnet ist (positiver Faktor vor dem x²). Allerdings kann man auch hier auf die Nullstellenformel zurückgreifen:
xn = -c / (2b) +- sqrt( ( c²/(4b²) ) - (d/b) )

Damit ergibt sich für die Nullstellen:
xna = -(-6a) / (2·3) +- sqrt( ( (-6a)² / (4·3²) ) - (6a²/3) )
xna = a +- sqrt( 36a²/36 - 2a² )
xna = a +- sqrt( -a² )
Da -a² immer negativ ist, ist die Wurzel nicht definiert und es gibt folglich keine Nullstellen.