Handwerker bezahlen? Problem nicht gelöst

Frau A. bewohnt ein Eigentumshaus mit ihren Kindern. Nun zickte die Heizungsanlage und Frau A. rief bei einem Heizungsmonteur an. Die Firma kam auch sehr zügig. Der Monteur sah sich die Anlage an, konnte den Fehler aber nicht finden und somit auch nicht beseitigen.

Da Frau A. aber auf die Heizung angewiesen war, die erste Firma ihr nicht helfen konnte, rief sie eine zweite Firma an. Auch die zweite Firma kam sehr zügig, sah sich die Heizungsanlage an, fand den Fehler recht schnell und behob den Fehler auch umgehend.

Frau A. fragt sich nun, ob sie die Rechnung der ersten Firma bezahlen muss. Immerhin hat die Firma den Fehler weder gefunden noch behoben.

Ich denke mal schon das Frau A zumindest ein Teil der Rechnung zahlen muss. Das heißt Anfahrt und eventuell eine halbe Stunde Arbeit. Hat sie die Rechnung schon bekommen und was stand den als Leistung drauf? Das Problem hatte ich auch schon gehabt, allerdings kam die erste Firma nocheinmal mit anderen Geräten und fand den Fehler dann. Ich musste hier aber nur die zweite Anfahrt und die Fehlerbeseitigung bezahlen. Hat Frau A irgendwas was ersten Handwerker unterschrieben, wenn nicht, können diese auch keine Rechnung stellen.