Feuchte Wände mit Schimmel - wer ist in der Beweispflicht?

A wohnt seit 3 Monaten in einer Wohnung, die frisch renoviert war, als sie eingezogen ist. Nun ist im Schlafzimmer an der Außenwand und auch im Badezimmer an der Außenwand Schimmel. Im Schlafzimmer hat sie das erst gesehen, als sie das Bett abgezogen hat und im Bad ging Tapete ab und darunter war alles schwarz.

Der Vermieter meint, dass sie nicht richtig gelüftet hat. A aber sagt, sie hat richtig gelüftet und heizt auch seit Oktober. Der Vermieter meint, dass sie beweisen soll, dass es nicht an ihr liegt und A meint, dass der Vermieter in der Beweispflicht ist.

Wie schaut es rechtlich da aus? Ist der Vermieter in der Beweispflicht und muss einen Gutachter bestellen? Ist der Gutachter nicht dann parteiisch? Sollte A einen Gutachter bestellen oder direkt bei Gericht einen beantragen oder wie sollte es nun weiter gehen?

Ich würde damit zum Mieterschutzbund gehen und mich erkundigen. Soweit ich weiß, ist es aber Sache des Vermieters da einen Gutachter kommen zu lassen und gucken zu lassen, woher der Schimmel kommt. Die Mieter können auch je nachdem die Miete deswegen mindern. Aber das kann der Mieterschutzbund sicherlich alles genauer klären.